Математическая оптимизация
Математическая оптимизация представляет собой задачу отыскания максимального или минимального значения некоторой целевой функции по заданному параметру (s). Целевая функция есть, таким образом, нечто такое, что может быть оптимизировано только с помощью итеративной процедуры.
Например, отыскание оптимального f для одной рыночной системы или одного сценарного спектра является задачей математической оптимизации. В этих случаях методы математической оптимизации могут быть достаточно грубыми, вроде перебора всех значений f от 0 до 1,0 с шагом 0,01. В качестве целевой функции для отыскания среднего геометрического HPR при различных условиях и заданном значении f может выступать одна из функций, представленных в главе 1. Роль варьируемого параметра здесь играет то значение f, которое тестируется в интервале от 0 до 1.
Значение целевой функции вместе с подставляемыми в нее значениями аргументов дают координаты нашего положения в (п + 1)-мерном пространстве. Отыскивая f для одной рыночной системы или одного сценарного спектра, когда п равно 1, мы получаем координаты в двухмерном пространстве. Одной из координат является значение f, подставляемое в целевую функцию, а другой координатой – значение целевой функции от этого f.
Поскольку не всем достаточно легко представить себе более трех координат, мы будем считать, что п равно 2 (то есть оперировать с трехмерной, (п + 1)-мерной картины). В условиях такого упрощения значение целевой функции дает нам высоту трехмерного изображения. Значения f связанные с одним из сценарных спектров, мы можем представить себе в виде координат север-юг, а значения f, связанные с другим спектром, – с координатами восток-запад. Каждый сценарный спектр соответствует возможным исходам данной рыночной системы. Поэтому мы, например, можем сказать, что координаты север-юг соответствуют определенному значению f для данного рынка и для данной системы, а координаты восток-запад – значению f, относящемуся либо к торговле на другом рынке или к другой системе, когда торговля по обеим системам идет одновременно.
Целевая функция дает нам высоту для данного набора значений f. Другими словами, целевая функция дает нам высоту, которая соответствует единственной координате восток-запад и единственной координате север-юг. То есть координаты каждой точки задаются следующим образом: широта и долгота – парой значений f, а высота – значением целевой функции от этих значений f.
Теперь, когда у нас есть координаты для отдельной точки (ее широта, долгота и высота), нам нужна некая процедура поиска, метод математической оптимизации, для изменения значений f подставляемых в целевую функцию таким образом, чтобы возможно скорее и проще добраться до вершины поверхности.
То, что мы делаем, направлено на составление карты определенной области в (n + 1)-мерного изображения, ибо координаты его вершины дают нам оптимальные значения f для использования в каждой рыночной системе.
В прошлом было разработано множество методов математической оптимизации, многие из которых весьма продуманны и эффективны. У нас есть из чего выбирать. Ключевым вопросом является: «К какой целевой функции мы будем применять эти методы математической оптимизации в нашей новой методологии инвестирования капитала?» Целевая функция является ее сердцевиной. Далее мы обсудим этот вопрос и проиллюстрируем на примерах, как работать с целевыми функциями. После этого мы займемся методами оптимизации целевых функций.
|
