5.2. Математические теории
Теория игр
Теория игр (theory of games) наиболее близка к вероятностным процессам. По этой причине мы уделим ей повышенное внимание.
В теории игр исследуются ситуации с двумя или более участниками, интересы которых полностью или частично противоречат друг другу. Предметом изучения этой теории является анализ и прогноз действий разных игроков, направленных на достижение одной цели (захват рынка, максимизация прибыли и т.п.).
Применительно к динамике цен действия одного игрока по изменению цены могут привести к действиям по изменению цены другого игрока. Тем самым само изменение цены является информацией для рынка, причем иногда гораздо более важной, нежели какие-либо фундаментальные новости. Об этом красноречиво свидетельствуют резкие всплески цен при проходе ключевых уровней сопротивления и поддержки, когда, кроме самого факта изменения цены на рынке, ничего не происходит.
Теория игр помогает игрокам правильно построить собственную стратегию, реализуя которую можно не только приспособиться к действиям других рыночных участников, но и максимизировать искомый результат. Выбирая стратегию, игрок должен учитывать возможные ответные шаги других игроков. При этом предполагается, что все игроки выбирают наилучшие стратегии и тактические шаги, хотя, по-моему, это далеко от истины.
Наиболее простым и распространенным отражением игры является построение матрицы результатов. Каждый элемент этой матрицы показывает результат, ожидаемый конкретным игроком для любой возможной стратегии. Здесь стоит отметить, что игроком в целях теории игр признается только активный участник, который может влиять на ситуацию и действия других игроков. Пассивные участники, которые только следуют за рынком, игроками при всем их желании называться не могут.
Пример. Представленная ниже матрица результатов представляет результаты игрока А в игре с нулевой суммой для двух участников:
Если игрок А выбирает стратегию a3, а игрок В – стратегию b2, то результат для игрока А составит -10, а для игрока В +10. Задача каждого игрока состоит в том, чтобы выбрать стратегию, максимизирующую искомый результат, учитывая стратегию другого игрока. Так, с точки зрения игрока А, наилучшие реакции на три возможные стратегии игрока В составляют следующие пары: (b1, а3), (b2, a1), (b3, a2). Для игрока Б наилучшие реакции на три возможные стратегии игрока А составляют следующие пары: (а , Ь3), (а2, b ), (а, b ). Единственной пересекающейся стратегией здесь является пара (а, b ), которая присутствует в наилучших реакциях обоих игроков. Таким образом, одновременный выбор 2-й и 3-й стратегий игроков А и В соответственно и будет являться решением настоящей матрицы результатов. Однако жизненная практика показывает, что не все так просто. Во-первых, игроки могут и не догадываться о наилучшем выборе, принимая решения на основании других решающих правил. Во-вторых, действия игроков очень редко бывают одновременными, что дает одному из игроков преимущество. В-третьих, стратегий может быть неисчислимое множество. В-четвертых, в жизни матрицы результатов являются динамическими системами в отличие от представленного выше статического примера.
Тем не менее маркет-мейкеры (в широком понимании этого слова) практически постоянно вынуждены соизмерять свои действия с поведением, как действующим, так и возможным, других участников, в том числе рыночной массой в целом.
Главной проблемой выбора наилучшей стратегии игры являются недостаток и неопределенность информации. Это предопределяет необходимость использования вероятностных методов в ходе решения матрицы.
К теории игр можно подойти также с той точки зрения, что рынок представляет собой сообщество игроков, в котором могут договориться только крупные игроки. Соответственно только они могут получить выгоду от сотрудничества и максимизировать свои доходы. Все остальные вынуждены действовать строго в одиночку и соперничать друг с другом и с крупными игроками. Согласно теории игроки, не сотрудничающие между собой, неизбежно будут от соперничества терять. Это означает, что мелкие игроки получают выигрыш, только тогда, когда крупные игроки с ними делятся.
Подход теории игр мне кажется более обоснованным для применения на финансовых рынках по сравнению с теорией случайных блужданий. Причиной этого является, с моей точки зрения то, что все последующие числа неслучайных рядов порождены предыдущими, что и кто бы ни пытался оказать на них влияние.
Как мы увидим позже, это выражение полностью соответствует теории бифуркаций и теории хаоса.
Теория вероятностей
Многое из ранее сказанного дает нам основание относиться к рыночным явлениям как к случайным и соответственно применять теорию вероятностей (theory of probabilities). Таким образом, без понимания теории вероятностей предпринимать последующие шаги вряд ли имеет смысл.
Вероятность представляет собой количественную меру того, что какое-либо случайное событие произойдет. Вероятность может принимать значение в промежутке от 0 (невозможное событие) до 1 (событие, которое обязательно наступит). Иногда вероятность описывают в процентах. В этом случае нижняя и верхняя границы значения вероятностей будут равны 0 и 100% соответственно.
Классическая формула для определения вероятности наступления случайного события х выглядит следующим образом:
Пример. Бросая игральную кость, мы можем получить шесть возможных исходов – выпадение одной из шести граней игральной кости: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Таким образом, можно определить вероятность выпадения одной из граней, например, 3:
Таким образом, вероятность выпадения одной из граней игральной кости (в нашем примере 3) составляет 16.67%.
Можно также определить вероятность выпадения одной из двух граней (например, 2 или 3). В этом случае используется правило сложения вероятностей, а вероятность рассчитывается следующим образом:
Таким образом, вероятность выпадения грани с цифрой 2 или 3 равна 33.33%.
Правило сложения вероятностей используется для зависимых событий, когда одно случайное событие исключает наступление другого случайного события.
Если необходимо найти вероятность одновременного наступления двух и более случайных событий, используется правило умножения вероятностей. При этом все события должны быть независимы друг от друга.
Пример. В результате одновременного броска двух игральных костей мы можем получить 36 различных комбинаций: 1–1, 1–2, 1–3, 1–4, 1–5, 1–6, 2–1, 2–2, 2–3 и т.д. Для определения вероятности того, что в результате подбрасывания мы получим на гранях обеих игральных костей по 1, используем правило умножения вероятностей:
Таким образом, вероятность одновременного выпадения на двух игральных костях граней с цифрой 1 равна 2.78%.
|
