9.5. Опционы – инструмент спекуляций и хеджирования
Рассмотрим простой, элементарный пример определения цены опциона с учетом всех основных факторов влияния на его стоимость.
Возьмем, например, акции условной компании АВС. Предположим, что мы уже обладаем пакетом этих акций в размере 1000 штук. При этом мы знаем, что:
— текущая рыночная цена одной акции АВС равна $16;
— процентная ставка по безрисковому долговому инструменту составляет 5% годовых;
— периодичность выплаты процентов один раз в год;
— временной горизонт (рассматриваемый срок инвестиции) два года;
— компания выплачивает дивиденды в размере $0.6;
— периодичность выплаты дивидендов один раз в год.
Для начала всех этих знаний нам будет достаточно, поэтому попробуем рассмотреть различные варианты стоимости опционов.
Первым делом нам необходимо будет определить будущую, фьючерсную цену акций компании АВС, которая является справедливой и для держателя и для потенциального покупателя этих ценных бумаг.
Если мы сейчас продадим наш пакет акций АВС по текущей рыночной цене в $16 за штуку, то сможем получить $16000.
Дальше мы можем вложить эти деньги в безрисковый актив и получить процентный доход в сумме $1640.
Вместе с тем, продав акции, мы не получим дивиденды за два года на общую сумму $1230.
А если мы просто продали акции и вложили полученные деньги в безрисковый актив, то мы получили бы через два года $17640 (16000+1640).
Если же мы оставили бы эти акции в своем распоряжении, то через два года мы имели бы 1000 акций компании АВС и $1230. При вложении последней суммы в покупку дополнительного пакета акций АВС, при условии стабильности цен этих ценных бумаг, через два года мы имели бы почти 1077 акций (1000+1230/16).
Разделив $17640 на 1077, мы получим справедливую будущую стоимость акций компании АВС через два года – $16.38.
Похожую величину мы можем рассчитать также гораздо более простым путем, исходя из стоимости одной акции:
Справедливости ради надо заметить, что последний способ не только более простой, но и гораздо правильнее. Объясняется это допущением покупки акций компании АВС на дивиденды по цене $16 за штуку. На самом деле на момент инвестирования дивидендов акции компании АВС уже должны будут вырасти в цене до $16.41. То есть реально мы сможем купить не 77 акций, а 75.
Конечно же, нельзя говорить о том, что фьючерсные цены и реальные цены в будущем совпадают. Иначе просто достаточно было бы смотреть старые котировки (например, трехмесячной давности) фьючерсов на акцию, для того чтобы ожидать соответствующей рыночной цены этой ценной бумаги.
Вместе с тем, если реальная фьючерсная цена будет ниже справедливой, у держателя акций будет стимул продавать свои пакеты по текущим рыночным ценам, вкладывать полученные деньги в безрисковые активы для получения процентов на вложенный капитал и одновременно покупать фьючерсные контракты. Рост объемов спроса на последние должен будет поднять их стоимость до той величины, когда совершать подобные сделки будет уже невыгодно.
Похожую логику с точностью до наоборот можно будет применить для случаев, когда реальная фьючерсная цена оказывается выше справедливой.
После определения фьючерсной цены акции компании АВС через два года можно перейти к рассмотрению примеров со стоимостью опционов.
Например, нам предлагают продать колл-опцион со страйком $16.50 и сроком до экспирации два года, а также премию в $1.5 за контракт.
Здесь необходимо помнить, что текущая стоимость суммы премии на наш пакет акций 1000 штук будет составлять больше $1500 (1000 x 1.5). Больше на величину процентов, т.е. на $153.75 (). Таким образом, реальная величина премии будет составлять $1653.75 (1500+153.75), или около $ 1.65 в расчете на одну акцию.
Точка безубыточности для покупателя этого колл-опциона составит $18.15 (16.50+1.65). То есть если рыночная цена акций компании АВС через два года составит $18.15, то покупатель колл-опциона исполнит его по цене исполнения (купит наш пакет акций в количестве 1000 штук) $16.50, полностью отбив величину ранее уплаченной премии, включая недополученные проценты. Мы при этом продадим акции фактически по цене $18.15 за штуку, что значительно выше ранее рассчитанной справедливой цены в $16.41. Если же рынок пойдет выше и рыночные цены поднимутся, например, до $19, то продажа колл-опциона уже не будет самой эффективной стратегией – рынок будет идти без нас.
С другой стороны, нам также необходимо знать, падение цены акции ниже какой величины приведет продавца колл-опциона к убыткам при условии, что эти ценные бумаги будут по-прежнему оставаться в нашей собственности. Эта величина рассчитывается очень просто:
То есть если стоимость акций АВС через два года упадет ниже $14.76 (за точку отсчета здесь в отличие от определения верхней границы безубыточности колл-опциона берется справедливая фьючерсная цена), то продажа колл-опционов и получение премии по ним не покроет убытки от падения котировок. Если реальная рыночная цена через два года окажется ниже $14.76, то более оптимальной стратегией было бы еще в самом начале продать акции и не ввязываться в продажу колл-опциона.
Итак, верхняя граница безубыточности для продавца колл-опциона составит $18.15. а нижняя – $14.76.
Для покупателя колл-опциона, если он все-таки реально заинтересован в приобретении означенного количества акций, нижняя точка безубыточности будет составлять $14.85 (16.50 -1.65).
Теперь остается совершить последний шаг – определить вероятность того, что рыночная цена через два года останется в границах безубыточности. Здесь-то и помогает знание волатильности (стандартного отклонения) рынка. И именно этот-то вопрос и является главным в определении стоимости опциона, главным и неизвестным. Недаром говорят: волатильность является объектом торговли в опционах.
Историческая волатильность может при этом навредить – достаточно вспомнить последствия изменения темпов падения рубля в августе 1998 года для российских банков. Плавное движение котировок рубля против доллара США в рамках валютного коридора практически в одночасье сменилось «штормом», разбившим не одну стратегию и расчет. Именно поэтому при работе с опционами рекомендуется использовать в первую очередь внутреннюю волатильность, историческую лишь имея в виду.
Как же рассчитать и откуда взять внутреннюю волатильность? Одним из самых простых способов является получение значения такой волатильности напрямую с рынка, уже оценивающего подобные опционы. Можете также попытаться скорректировать превалирующую на рынке внутреннюю волатильность на значение средней исторической волатильности выбранного инструмента. Результатом определения внутренней волатильности станет значение стандартного отклонения.
Итак, закончим наше маленькое исследование сермяжной правды опционов.
Для этого нам необходимо оценить вероятность того, что цена через два года (здесь также необходимо сделать предположение о колл-опционе как опционе европейского типа) останется в коридоре от $14.76 до 18.15, т.е. продажа колл-опциона будет являться экономически целесообразной.
Зная внутреннюю волатильность выбранного инструмента для заданного периода времени (два года), по формуле (3.13) можно рассчитать вероятность роста цены выше верхней границы ($18.15) и вероятность падения ниже нижней границы ($14.76).
Например, при значении стандартного отклонения акций компании АВС в 2.4 на периоде в два года вероятность составит
Таким образом, получается, что вероятность того, что рыночная цена через два года останется в расчетном коридоре от $14.76 до $18.15, составляет 52.07% (100% – 47.93%).
Дальше можно рассчитать, насколько целесообразна продажа колл-опциона, для чего используем формулу математического ожидания:
где x – средняя сумма убытка, который получит продавец колл-опциона с вероятностью 47.93%, оставивший в своей собственности пакет акций компании АВС.
Данная величина, к сожалению, неизвестна. Однако можно рассчитать цену, где математическое ожидание продажи колл-опциона окажется нулевым, нулевым отдельно для верхней и нижней границ:
То есть если рыночная цена окажется в пределах от $13.04 до $20.02, то математическое ожидание получения прибыли от продажи колл-опциона для его продавца будет положительным. То есть если мы ждем, что рынок останется (теперь уже с вероятностью максимально близкой к 100) в пределах от $13.04 до $20.02, то продажа колл-опциона с оставлением акций компании АВС в своей собственности будет экономически целесообразной. Соответственно покупателя колл-опциона будет интересовать эта сделка, если он ожидает снижение цены или ниже $13.04 (если, конечно же, он действительно хочет купить акции), или выше $20.02.
Вот так вкратце выглядит элементарная логика определения стоимости опционов, во главе угла которой стоит оценка экономической целесообразности через математическое ожидание.
Основным узким местом при этом является знание внутренней волатильности базового актива, на который выписывается опцион (стандартного отклонения).
Если вы захотите рассчитать теоретическую стоимость опциона с использованием более серьезного и точного подхода, то для это можно использовать одну из следующих моделей.
Есть несколько различных теоретических моделей зависимости цены опциона от перечисленных выше переменных. Эти модели различаются особенностями оцениваемых активов (акций, товаров, фондовых индексов, валют и т.п.), а также отличаются от сделанных предположений. В то же время все эти модели используют формулы для расчета «справедливой» цены (fair price) при текущих значениях переменных и по этой причине цены, полученные при расчете каждой модели, сильно не различаются.
Теоретические модели помогают оценить, сколько должен стоить конкретный опцион в конкретный момент времени, хотя полученная оценка и не будет являться истиной в последней инстанции.
Однако, как правило, встречается ситуация, когда реальная цена сильно отличается от цены «справедливой». В подобных ситуациях в теоретической модели вместо исторической волатильности, которую вычисляют по предыдущим данным ценового ряда, используется другая ее величина. Последняя подбирается так, чтобы справедливая цена совпала с реальной рыночной. Как мы уже знаем, эту волатильность называют внутренней (implied volatility). Этот подход хотя и ущербен в силу отсутствия строгой научности, но широко применяется практиками торговли опционами.
Использование теоретических моделей ценообразования опционов позволяет трейдерам вычислять прогнозную стоимость опциона в будущем. Если трейдер имеет какие-либо предположения о дальнейшем развитии рынка (например, через 15 дней цена актива вырастет на 5%, волатильность уменьшится на 2%, а процентная ставка останется неизменной), то он может рассчитать будущую цену опциона.
Наиболее распространенной моделью для расчета цены опциона является модель Блэка–Шоулса (Black–Scholes), разработанная Фишером Блэком (Fischer Black) и Майроном Шоулсом (Myron Scholes) в начале 70-х годов. Кстати, за развитие теории ценообразования опционов Роберту Мертону (Robert Merton) и Майрону Шоулсу в 1997 году была присуждена Нобелевская премия по экономике. Эта модель хорошо описывает ценообразование европейских опционов на акции. Узким местом модели Блэка– Шоулса является неизменность волатильности в течение жизни опционов со всеми ценами исполнения, а также подчинение цен случайному процессу с логнормальным распределением. Согласно модели Блэка–Шоулса премия опциона колл европейского стиля находится в прямой зависимости от цены базисного актива, волатильности, количества дней до экспирации и безрисковой процентной ставки, а также в обратной зависимости от цены исполнения.
Формулы для расчета стоимости европейских опционов колл и пут в модели Блэка–Шоулса выглядят так:
где
Ф(d) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Ф(d+) для колл-опционов находится в интервале от 0 до 1 (или от 0 до 100%), а для пут-опционов – от -1 до 0 (или от -100 до 0%);
и
и
e – экспонента (константа с численным значением 2.71828182845905);
K – цена исполнения опциона;
S0 – цена базисного актива в момент покупки/продажи опциона;
r – безрисковая процентная ставка (например, если 6%, то для расчета используется 0.06);
Т – доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365);
σ – волатильность, измеряется и дается в процентах годовых. В наиболее распространенном варианте представляет собой стандартное отклонение цены.
Один из наиболее распространенных вариантов расчета волатильности (логарифмический) выглядит следующим образом. Сначала рассчитывается ряд логарифмов изменения цен:
где pt – цена в момент времени (t);
pt-1 – цена в предыдущий момент времени (t-1).
Далее рассчитывается среднеарифметическое ряда значений x за некоторый ограниченный период времени:
где n – некоторый ограниченный период времени, за который рассчитывается волатильность (например, 10, 20, 30, 60, 90, 120, 150 или 180 дней).
Далее рассчитывается историческая волатильность за этот ограниченный промежуток времени
Затем приведем рассчитанную выше историческую волатильность за некоторый промежуток времени к годовому значению
где 252 – количество рабочих дней в календарном году.
В формуле Блэка–Шоулса размер премии зависит от шести параметров:
Значения всех параметров, кроме т, мы уже рассмотрели раньше. Параметр задается в зависимости от вида базисного актива:
т = r – для опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды;
m = r – q – для опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;
т = r – rf – для валютного опциона, где r – безрисковая ставка процента в валюте торговли, a rf – в базисной валюте;
т = r – q – для опционов на фондовые индексы, где q – средняя ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;
т = 0 – для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь St – текущая фьючерсная цена;
m = r – q – для облигационных опционов, где q – приведенная купонная процентная ставка, a St – текущая цена базисной облигации.
Практический пример расчета теоретической цены опциона
В качестве примера рассчитаем теоретическую стоимость опциона колл на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S&P 500.
Начальные условия.
Тип контракта – американский.
Дата исполнения – 21 мая 1999 года.
Текущая дата – 15 апреля 1999 года.
Т – доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365). На текущую дату срок до истечения опциона составляет 36 дней. Таким образом, оставшаяся до истечения опционного контракта доля года равна 0.09863.
e – экспонента. Численная константа 2.71828182845905.
K – страйк равен 1325.
S0 – цена фьючерсного контракта на курс фондового индекса S&P 500 в момент покупки опциона равна 1323.
r – безрисковая процентная ставка равна 10%.
s – внутренняя волатильность равна 17.43.
m = r – q. Если q – сумма планируемых к выплате дивидендов держателю акций с момента эмиссии опциона равна 0, то т = r, т.е. т = 10%.
Отсюда рассчитаем
и
Далее рассчитаем функции распределения для d+ и d-:
и
и
Отсюда Ф(d+)= 0.5714, а Ф(d-)= 0.5498.
И, наконец, рассчитаем минимальную премию:
откуда
Таким образом, теоретическая стоимость опциона на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S&P 500 с указанной выше спецификацией составляла 34.58.
Реальная стоимость этого опциона на рынке составляла 34.60, что практически точно совпало с полученной нами оценкой.
Премии опционов можно рассчитывать при помощи так называемых опционных калькуляторов. Так, калькулятор для американского рынка акций находится на web-странице чикагской опционной биржи СВОЕ:
http://www.cboe.com/TradTool/OptionCalculator.asp.
Модель Блэка–Шоулса исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Это допущение легко избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов из премии, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку). Другим допущением модели Блэка–Шоулса является то, что она рассчитана только на опционы европейского типа. Третье предположение – что рынки являются эффективными, а динамика рыночных цен случайна. Это, пожалуй, самое спорное допущение, отражаемое в использовании трейдерами внутренней, а не исторической волатильности. Также следует отметить, что в модели Блэка–Шоулса совершенно не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер опционами.
Модификацией модели Блэка–Шоулса для опционов на фьючерсы является модель Блэка (Black). Фишер Блэк разработал эту модель в 1976 году специально для оценки опционов на фьючерсы. При этом он рассматривает фьючерс как акцию, которая не приносит дохода свыше безрисковой процентной ставки.
Модель Кокса–Росса–Рубинштейна (Сох–Ross–Rubinstein) учитывает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка–Шоулса и являются усовершенствованным вариантом биномиальной модели. Вместе с тем, модель Кокса–Росса–Рубинштейна дает результаты, близкие к модели Блэка–Шоулса. Отличие этих двух моделей заключается в учете возможности досрочного исполнения американского опциона, что очень важно при высокой безрисковой процентной ставке.
Модель Гармана–Кольхагена (Garman–Kohlhagen) создана специально для оценки опционов на валюты. В этой модели валюта рассматривается как актив, который приносит доход на уровне безрисковой процентной ставки.
Модель Мертона (Merton), модель The Barone-Adesi-Whaley Quadratic model, разработана в 1973 году. Эта модель исходит из случайного характера изменений безрисковой процентной ставки, что является лучшим отражением действительности, нежели допущения предыдущих моделей. Обычно модель Мертона используется для европейских опционов на акции. Также она дает неплохую оценку стоимости опционов на фьючерсы и более точные оценки для опционов «вне денег».
Модель Дмитрия Буртова учитывает основной недостаток, присущий перечисленным выше моделям – предположение о неизменности волатильности для опционов с различными ценами исполнения. Для расчета теоретической цены опциона в модели Буртова используется кривая доходности (Yield Curve), построенная на основании вчерашних цен закрытия (Yesterday Settlment). Расчет цены опциона включает в себя следующие шаги:
а) оценку вчерашней кривой доходности и сегодняшней доходности конкретного опциона. Оценка проводится по модели Блэка;
б) определение сдвига вчерашней кривой доходности относительно сегодняшнего ее значения;
в) расчет средневзвешенной кривой доходности на базе вчерашней и сегодняшней кривой с учетом тиковых объемов (Tick Volume) в качестве весов для различных страйков (вчерашний тиковый объем полагается равным 1). Например, если сегодняшний тиковый объем для рассматриваемого опциона равен 4, то результирующая кривая доходности в точке, соответствующей данному страйку, будет находиться на дистанции 4/5 между вчерашней и сегодняшней кривой доходности, располагаясь ближе к сегодняшней;
г) полученная доходность подставляется в формулу Блэка для расчета цены и коэффициентов греческой таблицы опциона.
При использовании всех перечисленных выше моделей предполагается, что цены изменяются по логнормальному распределению. Однако в реальных условиях это условие не всегда выполняется. Согласно теории хаоса рынок не является случайным, а значит, и нормально распределенным. Это замечание относится как к развитым, так и к развивающимся рынкам. Эффект отклонения изменения цен от нормального распределения наиболее заметен для опционов с малой стоимостью. Это объясняется тем, что участники рынка всегда помнят о возможном экстремальном движении цен базового актива, которое приведет к сильному увеличению стоимости данных опционов, а значит, их реальная рыночная стоимость обычно оказывается более высокой, чем это следует из формулы Блэка–Шоулса. Данный эффект носит название «улыбка волатильности» (volatility smile).
Модель Монте-Карло эксплуатирует классический метод Монте-Карло, который оценивает среднее значение некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опционов модель Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания премии (здесь дана оценка премии европейского опциона колл):
Здесь формула в скобках e-rT(ST-K)+ является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный выигрыш. Также в данной формуле вместо стандартного выигрыша (ST-K)+ может использоваться любой нестандартный выигрыш, который больше нуля: F(STК) ≥ 0.
Премии американских опционов колл и пут по методу Монте-Карло могут быть вычислены как:
Для расчета премии американских опционов необходимо построить на интервале моделирования от 0 до T равномерную сетку и оценить дисконтированный средний выигрыш во всех узлах, ключевых точках сетки по формуле
В качестве премии принимается максимальное значение сеточной функции {Pt}.
Премия европейского опциона совпадает с РT поэтому она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Здесь же следует отметить, что величина Р0 совпадает с внутренней стоимостью опциона.
В заключение отмечу, что торговать опционами также лучше всего от сильных уровней сопротивления и поддержки.
Так, покупать коллы хорошо от сильного уровня поддержки. Покупать путы – от сильного уровня сопротивления.
Продавать коллы – от сильного уровня сопротивления.
Продавать путы – от сильного уровня поддержки.
Покупать стрэддлы (одновременная покупка колла и пута с одной ценой исполнения) – от сильных уровней сопротивления или поддержки.
Продавать стрэддлы – на уровнях жизни.
|
