2.8. Определение рыночного портфеля

Точка М на диаграмме представляет риск и доходность портфеля, называемого рыночным портфелем. Как указывалось ранее, рыночный портфель определяется условием равенства спроса и предложения. Например, если все инвесторы нейтральны к риску, то Е(r_M) должно равняться r_f (если бы доходность рыночного портфеля была выше, то все инвесторы захотели бы купить его, так что спрос превысил бы предложение). Этот факт может использоваться при вычислении рыночного портфеля.

Во-первых, докажем теорему об инвестировании в два фонда (two-fund theorem). Эта теорема утверждает, что если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и стандартным отклонением своего портфеля, то каждый инвестор будет комплектовать портфель только из М и безрискового актива. Это ясно из последнего рисунка: каждый инвестор будет выбирать точку на прямой между r_f и М. Точка, выбранная инвестором, определит пропорции, в которых данный инвестор будет распределять свой капитал между безрисковым активом и рыночным портфелем.

Таким образом, мы можем представить решение инвестора k числом α^k, определяющим долю в его портфеле безрисковых активов, тогда (1 – α^k) определит долю рыночного портфеля. Итак, если α^k = 1, инвестор вкладывает весь капитал в безрисковые активы; если α^k < 0, инвестор занимает (под безрисковый процент) и покупает рыночный портфель. Если W^k – суммарный капитал инвестора k, то Y^k = (1 – α^k)W^k – капитал, вложенный в рыночный портфель.

Пусть m_i – доля актива i в М. Для того чтобы получить ожидаемую доходность E(r_M) и стандартное отклонение σ_M, мы должны инвестировать долю m_i нашего капитала в каждый актив r. Предположим, что рынок находится в равновесии. Чему равны m_i для каждого i?

Поскольку спрос равен предложению, суммарный капитал, вложенный в М, должен равняться рыночной стоимости М. Другими словами, если мы спросим каждого инвестора, сколько денег он вложил в М, и просуммируем, мы получим суммарный капитал, инвестированный в М. С другой стороны, если мы посмотрим на рыночные цены акций, умножим их на количество акций и просуммируем по всем видам последних, мы получим рыночную стоимость М. Ясно, что эти величины должны быть равными. Более того, мы можем проделать то же самое для каждого типа акций: рыночная стоимость актива должна равняться капиталу, вложенному всеми инвесторами.

Пусть V_i = P_i x Q_i, где Q_i – количество акций типа i. Тогда V_i – рыночная стоимость фирмы i.

Вспомним, что Y^k – капитал, вложенный в М инвестором k. Тогда m_iY^k – капитал, вложенный инвестором k в акцию i. Суммируя, получим

Решим относительно m_i:

Но мы знаем, что

поскольку суммарный капитал, инвестированный в рынок, равен рыночной стоимости всех активов. Подставляя, получим:

что говорит о том, что доля акций типа i в М просто равна доле акций на i рынке. Поэтому-то М называется рыночным портфелем.

Замечание

Безрисковые активы играли существенную роль в предыдущих рассуждениях. Однако мы фактически использовали лишь тот факт, что ковариация безрискового актива с рыночным портфелем равна нулю. Если бы нашелся такой портфель Z, что σ_ZM = 0, то наши рассуждения были бы справедливы и при отсутствии безрисковых активов.

Содержание

Далее