3.4. Биномиальная модель цены: европейский однопериодный колл-опцион

Биномиальная модель (binomial option pricing model) предполагает, что в любом периоде цена акции может сместиться либо вверх, либо вниз от текущей цены. Пусть u > 1 – сдвиг вверх, a d < 1 – сдвиг вниз. В рамках использовавшихся нами обозначений: высокая цена S_u = Su, низкая цена S_d = Sd, где S есть текущая цена акции. Как и ранее, при определении цены опциона нам не потребуются вероятностные предположения об изменении цены акции.

Мы будем использовать следующие обозначения:

S = текущая цена акции;

Su = будущая высокая цена акции (состояние H);

Sd = будущая низкая цена акции (состояние L);

r = 1 + безрисковый процент;

X = цена исполнения;

С – цена колл-опциона, которую и надо определить.

Слава Україні!

Адмін сайту, який є громадянином України та безвиїзно перебуває в Україні на протязі всього часу повномасштабної російської агресії, зичить щастя та мирного неба всім українським хлопцям та дівчатам! Також він рекомендує українським трейдерам кращих біржових та бінарних брокерів, що мають приємні торгові умови та не співпрацюють з російською федерацією. А саме:

Exness – для доступу до валютного ринку;

RoboForex – для роботи з CFD-контрактами на акції;

Deriv – для опціонної торгівлі.

Ну, і звичайно ж, заборонену в росії компанію Альпарі, через яку Ви маєте можливість долучитися як до валютного ринку, так і до торгівлі акціями та бінарними опціонами (Fix-Contracts). Крім того, Альпарі ще цікава своїми інвестиційними можливостями. Дивіться, наприклад:

рейтинг ПАММ-рахунків;

рейтинг ПАММ-портфелів.

Все буде Україна!

Будем предполагать, что u > r > d, – это необходимо для предотвращения арбитража (если r > u, то надо продать акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент r; если d > r, то надо занять деньги под безрисковый процент r и купить акцию). Определим

Если и С_u, и C_d равны нулю, то колл-опцион заведомо не будет исполняться, так что предположим, что С_u > 0.

А) Рассмотрим портфель из +1 акции и –k колл-опционов. Будущие платежи от этого портфеля составят:

Выберем k так, чтобы

т. е. получился безрисковый портфель. Для этого необходимо, чтобы

Это отношение называется коэффициентом полного хеджирования (hedge ratio).

Стоимость приобретения такого портфеля в настоящий момент есть S – kC. Так как портфель дает гарантированный доход S_u – kС_u, должно быть выполнено соотношение

откуда

Цена колл-опциона С есть функция текущей цены акции, будущих возможных цен акции, цены исполнения опциона (от которой зависят С_u и C_d) и безрискового процента.

В нашем примере было X = 30, Su = 40, Sd = 20, r = 1, так что

Б) Мы можем также определить цену опциона, используя акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей, порождаемых опционом. Пусть мы покупаем ∂ акций и занимаем $6. Мы хотим выбрать ∂ и b так, чтобы

Из этих двух уравнений следует, что ∂ и b должны быть:

Если мы выбираем ∂ и b в соответствии с этими уравнениями, то наш портфель из ∂ акций и $b безрисковых активов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион. Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене (эквивалентного) портфеля, иначе можно было бы получить чистую арбитражную прибыль. Это означает, что цена опциона есть

Подставляя данные из рассмотренного выше примера, мы снова получим С = (S – 20)/2.

Это уравнение имеет вид линейной зависимости между S и С, так что ∂ можно рассматривать как производную от С по S, т. е. как меру чувствительности цены колл-опциона на акцию по отношению к цене этой акции. Эта величина обычно называется “дельтой” опциона. Ясно, что ∂ = 1/k, где k – коэффициент полного хеджирования.

Аналогичная зависимость выводится и для европейского пут-опциона. Требуя, чтобы

получим, что

Заметим, что дельта пут-опциона отрицательна, так как Р_u < Р_d.

Содержание

Далее