3.8. Много периодов
Метод нейтральной к риску оценки распространяется на многопериодные модели. Если и, d и r постоянны, формулы упрощаются. Для двух периодов, подставляя в формулу нейтральной к риску оценки С выражения для Сu и Сd через Сuu, Сud, Cdu, Сdd посредством той же формулы, получим:
(Здесь и далее (nj) = n!/j!(n – j)!)
Для n периодов формула имеет вид
Пусть т – наименьшее целое значение, при котором Sumdn – m > X, тогда
Второй член этого выражения представляет собой (нейтральную к риску) вероятность исполнения колл-опциона, помноженную на цену исполнения и деленную на коэффициент дисконтирования за п периодов. Таким образом, второй член – это дисконтированный ожидаемый расход. Первый же член есть дисконтированный ожидаемый доход. Сомножитель-сумма в выражении для дохода не является вероятностью исполнения опциона, так как доход зависит от реализации различных значений цен акций (а расход – нет). Однако можно еще продвинуться по пути упрощения и прояснения. Используя определение π, преобразуем выражение для С:
Пусть θ = πu/r. Тогда
где Φ(m, n; θ) есть вероятность того, что биномиальная случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью θ и значение 0 с вероятностью (1 – θ), примет значение 1 как минимум m раз в n попытках.
Чтобы совершить, как было обещано ранее, предельный переход, предположим, что опцион погашается за время Т, а n есть число периодов, на которые мы делим интервал времени между настоящим моментом (примем настоящий момент за 0) и моментом Т. Соответственно мы должны подобрать значения r, и и d, чтобы учесть малую длину периода; например, значение u = 1.5, правдоподобное для периода в одну неделю, совершенно не годится, если период длится пять секунд.
Проще всего скорректировать r. Требуется, чтобы rT представляло собой стоимость 1-долларового актива в момент Т.
Поэтому определим
т. е. ρ есть единица плюс безрисковый процент за интервал времени длины Т/n.
Займемся теперь подбором u и d. Пусть ST есть (случайная) цена акции в периоде T. Ожидаемая величина темпа роста цены акции (если считать рост непрерывным с постоянным темпом) за интервал времени длиной 1 от i до t + 1 есть
Обычно делается предположение, что темпы роста независимы и одинаково распределены; обозначим среднее значение через μ, а дисперсию – через σ2. Тогда за Т периодов средний рост цены составит θТ, а дисперсия – σ2Т.
Пусть за n шагов было j увеличений и (n – j) уменьшений цены. Тогда ST = Sujdn – j, так что
Это выражение можно переписать как
так что
Если q есть истинная вероятность повышения цены (которая не обязана совпадать с π, то E(j) = nq. Дисперсия есть log(u/d)2[E{j2} – (E{j})2] = n[q(l – q)log(u/d)2], так как E{j} = nq2 + (n2 – n)q2.
Если требуется, чтобы в пределе для темпа роста цены получились среднее значение μТ и дисперсия σ2Т, мы должны выбрать и, d и q так, чтобы
Эти условия удовлетворяются, если
При подстановке в первую формулу левая часть равна μT независимо от n, а правая часть второй формулы дает
Ранее мы получили выражение для цены колл-опциона:
Можно показать, что если в эту формулу подставить найденные значения и и d и перейти к пределу при n, стремящемся к бесконечности, то получится формула Блэка–Шоулза
есть функция распределения для нормального распределения с параметрами (0, 1).
|