3.9. Лог-нормальная модель

Пусть S_t – случайная цена акции в периоде t, t = 1, ... , Т – заданный интервал периодов. Вместо того, чтобы переходить к пределу в биномиальном процессе, можно напрямую предположить, что темп роста цены акции ln(S_t/S_{t – 1}) распределен нормально со средним μ и дисперсией σ. (Заметим, что при переходе к пределу в биномиальном процессе нам не понадобилось такое предположение.) Если темпы роста цены независимы во времени, то величина ln (S_T /S) также распределена нормально со средним значением μT и дисперсией σТ. Соответственно, S_T распределена лог-нормально со средним значением S ехр{(μ + σ²/2)Т}, а величина (ln(S_T/S) – μТ)/σ√T распределена нормально со средним 0 и дисперсией 1.

При этих предположениях техника нейтральной риску оценки дает нам, что

С = E(C_T)r^-T, где C_T – случайная цена колл-опциона на дату погашения.

Но

(P(S_T ≥ X) обозначает вероятность того, что S_T ≥ X.)

Можно показать, что

Используя некоторые свойства лог-нормального распределения и нейтральной к риску оценки, можно получить формулу Блэка–Шоулза для цены опциона (Black–Scholes option pricing formula):

Здесь

Содержание

Далее