1.3. Откуда берутся текущие процентные ставки?

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что нам известны цены некоторых активов, и, используя арбитражные соображения, определяли цены других активов. Однако мы совсем не объяснили, откуда взялись цены, с которых мы начали. Возникает интересный экономический вопрос: откуда берутся текущие процентные ставки? Они публикуются каждый день в финансовой прессе на основе реальных сделок между заемщиками и кредиторами. Практическое взаимодействие участников финансового рынка регулируется сложным множеством правил. Например, по правилам двойного аукциона заявки на покупку или на продажу (они называются соответственно видами – bid и асками – ask) можно предлагать таким образом, чтобы цены бидов увеличивались, а асков – уменьшались. Хотя эти правила описывают процесс установления цен, они ничего не говорят о фундаментальных причинах, определяющих их конечные значения.

В конечном счете, процентные ставки определяются уровнем спроса и предложения на активы, приносящие доход. Например, если спрос на определенные бескупонные облигации невелик, то цена этих облигаций будет падать, а доходность расти. То же самое произойдет, если предложение этих облигаций окажется слишком большим. Реагируя на дисбаланс между спросом и предложением, равновесные цены определят временную структуру.

Уровень спроса и предложения на эти облигации зависит от многих причин. Предложение обычно формируется правительством, корпорациями и частными лицами, которые хотят занять денег. Спрос формируется лицами, желающими сберечь часть своего дохода для потребления в будущем. Например, рассмотрим экономику, в которой только один потребитель и п бескупонных облигаций с номинальной стоимостью F, рассчитанных на один период. Предположим, что потребитель имеет доход W₀ сегодня, но не будет иметь дохода завтра. Пусть С₀ обозначает количество денег, которое он тратит на потребление сегодня, а C₁ – завтра. Пусть Р – цена одной бескупонной облигации. Тогда С₀ = W₀ – zP, где z – число приобретенных облигаций, и С₁ = zF, поскольку потребитель получит номинальную стоимость каждой облигации. Каким образом потребитель определяет, каковы С₀, С₁ или (что то же самое) z?

В экономической теории предполагается, что потребитель некоторым образом оценивает предпочтительность для него разных вариантов потребления. Это моделируется при помощи функции полезности (utility function). В нашем случае задача потребителя заключается в выборе z, максимизирующем

Здесь U – функция полезности, а β называется дисконтирующим фактором. Если β = 0, то потребитель совсем не ценит будущее потребление. Если же β > 1, то потребитель ценит потребление в будущем выше, чем настоящее в следующем смысле. Предположим, мы начали с позиции, в которой С₀ = C₁, и предложили потребителю немного уменьшить С₀, увеличив на ту же величину С₁. Тогда если β > 1, то потребитель примет наше предложение. Аналогично, если β < 1, то потребитель отвергнет это предложение, поскольку потребление в настоящем для него ценнее, чем в будущем. Обычно мы считаем, что 0 < β < 1.

Подставляя значения С₀ и С₁ в функцию полезности, приведем задачу потребителя к следующему виду:

Тогда условие первого порядка для этой задачи имеет вид:

Условие второго порядка будет выполнено, если U – (строго) вогнутая функция, что обычно предполагается. Вогнутость функции полезности связана с антипатией к риску. Это означает, что при прочих равных условиях потребитель всегда предпочтет более равномерную структуру потребления.

Условие первого порядка можно переписать:

Если r – процентная ставка на один период, то мы знаем, что Р = F/(1 + r), так что F/P = (1 + r). Поэтому

Таким образом, если β = 1/(1 + r), то потребитель уравнивает маргинальные полезности потребления в обоих периодах; поскольку функция строго вогнута, это также означает равные потребления.

Эту формулу можно воспринимать следующим образом. β характеризует процентную ставку, по которой потребитель оценивает потребление в будущем по отношению к настоящему. (1 + r) характеризует ставку, по которой настоящее потребление превращается в будущее. Поэтому если β > 1/(1 + r), то потребитель предпочитает большее потребление в будущем, чем в настоящем, и наоборот, если β < 1/(1 + r).

Продолжим определение r (или, что то же самое, Р). Для этого рассмотрим конкретную функцию полезности:

где log обозначает натуральный логарифм.

В этом случае U'(C) = 1/С, поэтому условие первого порядка переписывается в виде:

откуда

Мы предположили, что существует n облигаций, в то время как z – спрос на эти облигации. Таким образом, если спрос равен предложению, мы получим

и цена (Р) облигации определяется уравнением

Отсюда видно, что рост предложения (n) приведет к падению цены облигации и увеличению процентной ставки, в то время как увеличение W₀ приведет к росту цены облигации. А что же β? Увеличение β увеличивает как числитель, так и знаменатель дроби в равенстве. Однако дробь растет с ростом β, поэтому увеличение β приведет к росту цены или падению процентной ставки.

В общем случае мы можем рассмотреть другие функции полезности и случай многих потребителей с различными предпочтениями. Вместо двух периодов можно рассмотреть больше. Этот случай мы разберем позже, что позволит нам рассмотреть множество разнообразных форм, которые может принимать временная структура.

Рассмотрим экономику с идентичными потребителями с логарифмическими предпочтениями потребления (С) на четырехточечной оси времени. Предположим, что предпочтения потребителей описываются

где функция полезности U(C) = log(C) – монотонно возрастающая и строго вогнутая по потреблению С (т. е. первая производная от U по С, 1/С, положительна, а вторая производная, – 1/С², отрицательна). Коэффициент β представляет коэффициент предпочтения будущего потребления перед настоящим для каждого потребителя; будем предполагать, что 0 < β < 1.

Предположим, что существует три вида бескупонных облигаций со сроками погашения в периодах 1, 2 и 3 соответственно. Типичный потребитель i сталкивается со следующими бюджетными ограничениями:

где z_ij – число бескупонных облигаций с погашением в периоде j, приобретенных или проданных (в зависимости от знака) потребителем i. Задача каждого потребителя состоит в максимизации функции полезности при ограничениях (1.–4.); причем подставляя ограничения непосредственно в целевую функцию, получим задачу безусловной максимизации. При наших предположениях о функции V условия первого порядка по z_ij являются необходимыми и достаточными условиями максимума. Условия первого порядка:

Преобразуя эти уравнения, получим описание спроса в виде системы линейных по z уравнений:

Эта система проще выражается в матричном виде:

и решается обращением А:

В конкурентном рыночном равновесии цена каждого вида облигаций такова, чтобы спрос уравновешивал предложение, тогда:

которое эквивалентно условию, что вектор цен должен удовлетворять равенству:

Для демонстрации нахождения конкурентного равновесия сделаем следующие дополнительные предположения.

Пример

Равновесный анализ временной структуры процентных ставок

В экономике, определенной выше, сделаем дополнительные предположения:

U(C_t) = log(C_t).

Общее число идентичных инвесторов равно 1 000 000.

β = 0.909091, W₀ = $1000.

Общее предложение бескупонных облигаций каждого типа равно 2 287 916.

Мы определим и найдем конкурентное равновесие, получив некоторые выводы относительно временной структуры процентных ставок.

Конкурентное равновесие

Конкурентные цены (Р₁,Р₂,Р₃) бескупонных облигаций со сроком погашения 1, 2 и 3 соответственно удовлетворяют следующим условиям:

1. При данных ценах спрос z*_ij максимизирует функцию полезности инвестора при бюджетных ограничениях.

2. При этих ценах спрос и предложение на рынке каждого вида облигаций равны.

Нахождение равновесия

Спрос на каждую бескупонную облигацию определяется условиями первого порядка из задачи типичного инвестора. Учитывая предположения о функции V и подставляя ограничения в целевую функцию из условий первого порядка, получаем оптимальный спрос в матричной форме (как выше):

и условие баланса каждого рынка требует:

Данным параметрам соответствует следующее решение.

Текущая/форвардная ставка в периоде 1 = 0.1, 0.1, 0.1 (т. е. кривая доходности горизонтальна).

Текущие цены (ставки) для рынка бескупонных облигаций (F = $100):

Для каждого инвестора z*_ij = 2.8679 для каждого типа облигаций.

Потребление в каждом периоде = 286.7916 единиц потребления.

Заметим, что симметрия данного примера обусловливает горизонтальность кривой доходности, а уровень потребления равномерен во времени в соответствии со свойствами функции полезности.

Реакция временной структуры на скачок предложения

Предположим, что правительство дополнительно выпустило 7000 двухгодичных бескупонных облигаций, а начальный уровень благосостояния инвесторов не изменился. Даже в нашей простой экономике произойдет довольно сложное изменение процентных ставок. Старые цены не обеспечат баланса спроса и предложения. При логарифмической функции полезности на одногодичные и трехгодичные облигации будут направлены те же доли начального капитала. Однако цена двухгодичной бескупонной облигации упадет до $80.675 ввиду возросшего предложения, а значит, форвардная ставка в первый год возрастет до (0.1268) в ответ на скачок предложения. Более того, сохранение цены на трехгодичные облигации потребует изменения форвардной ставки на третий год. Она упадет до (0.07378) так, чтобы геометрическое среднее (1.10 x 1.12685 x 1.07378)^(1/3) осталось равным 1.10. Это изменение форвардной ставки на год 3 возникает в ответ на эффект возросшего благосостояния, имеющий место в начале года 3 после погашения двухгодичных облигаций с повышенным предложением. В результате новая кривая доходности имеет пик в средней позиции: 0.10, 0.113, 0.10 и соответствующие однопериодные текущие/форвардные ставки равны: 0.10, 0.1268, 0.07379.

Содержание

Далее