5. Тета
Определение теты
Как быстро премия опционов амортизируется из-за приближения срока истечения? На этот вопрос и отвечает тета. Посвященная ей глава очень важна, т. к. при кажущейся простоте концепции существуют заблуждения, касающиеся этого параметра, которые очень дорого обходятся.
Как мы обсуждали ранее, премия опциона состоит из временной стоимости и внутренней стоимости (рисунок 4.26). Внутренняя стоимость возникает только у опционов «при деньгах».
— Если опцион «при деньгах» и исполняется немедленно, внутренняя стоимость представляет собой остаточную стоимость позиции.
— Временная стоимость — это превышение стоимости опциона над ее внутренней составляющей. Именно она зависит от времени, оставшегося до истечения срока опциона.
Тета измеряет чувствительность временной составляющей премии опциона к сокращению срока жизни опциона. Она представляет собой часть временной стоимости, которая амортизируется ежедневно. Например, если цена otm-опциона — 10 долл., а его тета равна 2, значит, за день цена снизится на два тика, и назавтра он будет стоить 8 долл.
Интересно, что премии опционов «при своих» с разными сроками истечения относятся друг к другу через квадратный корень срока опционов, приведенных к году, если рассчитывать исходя из плоских кривых волатильности и форвардов (одинаковый своп для всех сроков). Например, премия десятидневного опциона относится к премии годового опциона в пропорции √10/365.
Используя это свойство, давайте произведем простые расчеты. Зная премию опциона со сроком истечения, например, через 365 дней, можно найти стоимость премии опциона с другой срочностью. Более того, уровни тет данных опционов будут обратно пропорциональны отношению премий. Например, если премия опциона со сроком истечения 1 год (365 дней!) равна 215, то премия опциона со сроком истечения 1 месяц (33 дня!) равна 215 х √33/365 = 64,64.
В случае с тетой 0,3 х √365/33 = 0,998.
Несколько наблюдений, сделанных на основе рисунка 4.27.
1. График имеет форму функции квадратного корня.
2. Можно заключить, что так же, как и в случае веги:
а) 1-недельный atm-опцион (в среднем) будет терять стоимость в два раза быстрее, чем 1-месячный atm-опцион (оба рассчитаны для одинаковой волатильности); то же самое относится к парам: «1-месячный — 3-месячный» и «3-месячный — 1-летний»;
б) 1-летний atm-опцион в первые девять месяцев своей жизни потеряет только половину своей стоимости.
Зная математическое соотношение, можно объяснить и обобщить это наблюдение (только для опционов «при своих», при плоских кривых волатильностей и форвардов): премия уменьшается вдвое для периода, который в четыре раза короче, т. к. √1/4 = 1/2.
Поскольку 365 / 4 = 91, премия годового atm-опциона равна премии двойного номинала atm-опциона, истекающего через 91 день.
3. Очень важно понять: даже если опцион стоит дорого, это не означает, что он будет быстро терять стоимость. Более важна зависимость теты от времени, оставшегося до конца срока опциона. Чем меньше срок, тем быстрее амортизация премии (точнее, временной стоимости) опциона atm. Например, вы тратите $10 000 на один 1-недельный atm-опцион и на один 1-месячный atm-опцион. У 1-недельного опциона тета больше, и он будет терять стоимость быстрее. В конце недели стоимость 1-недельного опциона будет равна нулю, в то время как 1-месячный опцион все еще сохранит часть своей стоимости. Срок опциона — такой же важный фактор при определении теты, как и размер премии.
Особенности поведения теты опционов с разной дельтой
Следует еще раз подчеркнуть, что график уменьшения временной стоимости, приведенный в таблице 4.4 и на рисунке 4.27, действует только для опционов «при своих». Каждая «дельта» теряет свою стоимость по-своему. Например, краткосрочные 25-дельтовые опционы теряют свою дельту по более прямолинейному графику (рисунок 4.29). Увядание же премии для опционов «глубоко в деньгах» (свыше 80% дельты) или «далеко от денег» (ниже 20% дельты) может вообще замедляться по мере приближения срока истечения опциона.
Приведенные ниже таблицы (4.4, 4.5 и 4.6) и рисунки (4.28, 4.29 и 4.30) демонстрируют влияние теты на дельту опционов, а также поведение премии опционов с изначально зафиксированными страйками (на уровне разных дельт) по истечении времени. Эти таблицы исключительно полезны для практиков, т.к. известные автору пособия не фокусируются на нюансах otm-опционов, и поэтому они полностью выпадают из поля зрения читателей. Обратите внимание:
1. Опцион с дельтой 20 потеряет больше половины своей стоимости в начале жизни, в то время как поведение теты опциона с дельтой 30 будет ближе к тете atm-опциона, т. е. он будет ускоренно терять стоимость ближе к концу жизни! Иными словами, динамика потери стоимости опционов с разной дельтой — разная. Именно самые дешевые и часто рекомендуемые начинающим инвесторам опционы теряют стоимость максимально быстро.
2. Важно понимать, что амортизация премии у опционов с маленькой дельтой (или большой дельтой) меньше в денежном выражении, чем у опционов «при своих» равного номинала. Например, у опционов, истекающих через 1 неделю, тета опциона пут с дельтой 25% может быть равна 3,1, в то время как тета опциона пут с дельтой 50% может составить 3,9.
Таким образом, если бы покупаете atm-опцион с номиналом $1 млн, его тета будет больше (больше амортизация премии) по абсолютному значению, чему опциона «без денег» (или «при деньгах») с номиналом $1 млн.
Однако (!) при одинаковых инвестициях в опционы с низкой дельтой и atm первые теряют стоимость быстрее! Например, если вы потратили $1 млн на премию (а не купили опцион номиналом $1 млн) для покупки опциона «при своих», этот опцион потеряет меньше временной стоимости, чем опционы «без денег», купленные за $1 млн. Обратите внимание, что в первом случае вы покупаете опционы с одинаковой номинальной стоимостью, в то время как во втором делаете одинаковые инвестиции (разные номиналы) в опционы.
Таким образом, если в вышеприведенном примере вы инвестируете $1 млн в $2 млн номинала 25-дельтовых опционов, за ночь они теряют 0,031 х 2 000 000. В то же время, если бы вы купили за $1 млн $1 млн номинала 50-дельтового опциона, за ночь он потерял бы 0,039 х 1 000 000. Следовательно, стоимость ваших инвестиций падает быстрее при одинаковых инвестициях в опционы с меньшей дельтой.
Это имеет смысл, т. к. инвестор может купить большее количество otm-опционов, чем опционов «при своих»! И они будут увядать быстрее! Таким образом, если вы а) должны выбирать между инвестированием в atm-опцион с номиналом $1 млн или в опцион номиналом $2 млн с дельтой 25% и б) заинтересованы в сохранении стоимости опциона, то вы купите atm-опцион номинальной стоимостью $1 млн (и откажетесь от левериджа в $2 млн в пользу сохранения стоимости опциона).
3. Поскольку с истечением времени опционы с изначально низкой дельтой теряют ее (т. е. возможность зарабатывать деньги на перехеджировании позиций) быстрее, на них сложно зарабатывать.
Влияние форвардных ставок на тету
Во многих пакетах программного обеспечения тета включает премию или дисконт в размере разницы процентных ставок, уплачиваемых за хедж форвардного дифференциала (свопа). Например, если ставки доллара выше иены, то покупатель пута на доллар может увидеть заниженную тету, когда опцион захеджирован: хеджем на купленный пут является покупка долларов (продажа иен). Пока ставка доллара выше, хедж зарабатывает финансирование. Прибыль же за финансирование снижает тету.
Вышеизложенное поможет вам ответить на следующие вопросы:
1. а) что дешевле купить: один 1-месячный atm-опцион или два 1-недельных atm-опциона (один после истечения другого)? б) какую часть своей стоимости потеряет 1-месячный опцион за последнюю неделю жизни?
а) опционы должны быть примерно одинаковыми по цене;
б) должен потерять около 50% стоимости за последнюю неделю!
2. Вы купили 3-месячный atm-опцион номиналом $1 млн.
а) какой номинал 1-месячных опционов вам надо продать, чтобы покрыть уплаченную вами премию?
б) какова будет тета этой позиции (примите тету 3-месячного опциона за единицу)?
в) какова вега этой позиции?
а) 2 млн;
б) в два раза больше;
в) такая же.
3. Ваш клиент купил опцион $10 млн номинала 1,4600 USD пут (CHF
кол) и купил хедж $5 млн;
а) если бы вместо этого он купил опцион USD кол с номиналом $10 млн и продал бы хедж $5 млн, изменилось бы поведение его позиции?
б) учитывая прибыльность этих двух позиций, что вы думаете об их
P&L и тетах?
в) поскольку процентные ставки по долларам выше, чем по франкам, клиент получит дополнительный доход на первой позиции. Принимая во внимание разницу в прибыли, думаете ли вы, что теты
должны быть разными?
а) получится точно такая же позиция;
б) они будут такими же, поскольку для получения одинакового дохода надо понести одинаковые затраты;
в) да. Тета позиции, у которой лучшая вероятность заработать, должна быть больше, в противном случае возможен арбитраж, где две позиции с одинаковой доходностью имеют разные издержки.
4. Клиент открывает позицию, которая будет стоить ему $1 млн. Какой
срок и какую дельту ему следует выбрать, если он хочет, чтобы в
конце срока его позиция:
а) хорошо сохранила стоимость;
б) имела большой леверидж.
а) более длинный срок, ближе к atm;
б) более короткий срок, опцион с маленькой дельтой (otm).
4. а) если премия опциона, истекающего через 306 дней, равна 197, чему равна премия опциона, истекающего через 182 дня?
151,92: 197 x √182/306
б) если тета опциона, истекающего через 63 дня, равна -0,7, какова тета опциона, истекающего через 153 дня?
0,45: (-0,7) / √153/63
|
