3. Условные вероятности и корреляция
Наша новая методология инвестирования требует использования условных вероятностей. Они являются краеугольным камнем нашего подхода. Не умея оценивать условные вероятности, мы не сможем определить оптимальное инвестирование. Итак, что же такое условная вероятность?
Условная вероятность – это вероятность реализации одного события при условии предварительной реализации другого события или одновременной реализации двух событий. То есть это вероятность наступления события В при условии, что уже наступило событие А. Это записывается как р(А|В), что буквально означает «Вероятность события А при условии наступления события В».
Условные вероятности нередко называют также совместными вероятностями. С точки зрения математики, эти вероятности означают одно и то же. Но обычно термин условные вероятности используют для обозначения вероятностей, когда одно из событий уже заведомо наступило (т. е. предполагается, что события происходят по очереди), а термин совместные вероятности используют, когда события происходят одновременно. На протяжении данной главы эти термины будут пониматься одинаково (поскольку одинакова их математика); поэтому термины условные вероятности и совместные вероятности будут использоваться попеременно.
Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий А или В равна сумме их индивидуальных вероятностей минус их условные вероятности:
р(А или В) = р(А) + р(В) – р(А | В).
Отсюда для случая двух монет получаем:
р(орел на монете 1 или орел на монете 2) = р(орел на монете 1) + р(орел монеты 2) – р(орел на обеих монетах).
То есть в численном выражении,
р(орел монеты 1 или орел монеты 2) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75.
Если мы подбрасываем две монеты одновременно (или одну монету два раза подряд), то могли бы ожидать появления, по крайней мере, одного орла с вероятностью 0,75.
Если события взаимоисключающие, то есть оба наступить не могут в том смысле, что если наступает одно событие, то другое наступить не может – тогда условная вероятность р(А | В) равна нулю, и формула принимает вид:
р(А или В) = р(А) + р(В).
Например, если мы бросаем монету, которая с вероятностью 0,5 выпадает орлом и с вероятностью 0,5 – решкой, то вероятность выпадения орла или решки равна 0,5 + 0,5 = 1.
А вот пример того, какое отношение имеют условные вероятности к нашей новой методологии. Предположим, что мы рассматриваем вопрос распределения инвестиций между двумя акциями, акцией ABC и акцией XYZ. Мы можем поинтересоваться, какова вероятность, скажем, 2%-ного или более роста цены XYZ при условии, что по ABC также имеется рост в 2% или более:
p(XYZ >= 2% | ABC >= 2%).
Или же нам понадобится узнать, какова вероятность роста по XYZ на 2% или более при условии падения по ABC на 1% или более:
p(XYZ >= 2% | ABC <= -1%).
При поверхностном рассмотрении это может выглядеть достаточно просто, как и считается в традиционной статистике, но для очень ограниченного типа случаев. В отношении условных вероятностей традиционная статистика может решить эту проблему лишь в частном случае, когда коэффициент корреляции между ABC и XYZ равен нулю.
Продолжим бросать монету. Исход индивидуального случайного события (случайного в том смысле, что мы не знаем исхода события до того, как оно произойдет, как при бросании монеты) называется случайной величиной. Так, в процессе бросания монеты исход бросания является случайной величиной, которая в данном случае может принимать два значения: орел или решка.
Предположим на время, что мы бросаем две монеты. Вероятность выпадения орла при бросании одной из двух монет равна 0,5. (Мы предполагаем, что имеем дело с идеальными монетами, у которых вероятности выпадения орла и решки равна по 0,5.) Следовательно, вероятность выпадения орла на обеих монетах равна 0,25, что получается умножением вероятности выпадения орла на первой монете 0,5 на вероятность выпадения орла на второй монете 0,5.
Эта совместная вероятность 0,25 выпадения орлов на обеих монетах может быть получена из того, что всего имеется четыре равновероятных возможных исхода при бросании двух монет (00, ОР, РО, РР), образующих выборочное пространство. Следовательно, шансы 00 равны 1 из 4, или 0,25.
|
