7.4.4.1. Оптимальное оценивание и прогнозирование вектора состояния финансового рынка
Хорошо известно, что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния («текущего», «прошлого» и «будущего») динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на «статистический портрет» оцениваемой динамической системы. Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка, чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка.
С учетом уравнения динамической системы (финансового рынка) вида (7.4.2) уравнения канала измерений (вычислений) вида (7.4.3), а также известных результатов теории, соответствующие уравнения фильтра Калмана для несмещенного оценивания текущего состояния финансового рынка с минимальной средне-квадратической ошибкой, могут быть записаны в виде:
где – m(i) – оценка вектора математического ожидания случайного процесса эффективности рынка, при этом матрица ковариации ошибок оценивания и матрица усиления фильтра K(i) определяются из рекуррентных уравнений:
Начальные условия определяются выражением:
Здесь P(i0) – матрица ковариации начального вектора X(i0).
Она выражает соответствующую априорную информацию по оцениваемой динамической системе.
Знаете ли Вы, что: Вы можете выиграть $100–$1000 или iPhone 11 Pro 64Gb, приняв участие в бесплатном ежемесячном конкурсе на демо-счетах от NPBFX.
Оптимальный по критерию минимума среднеквадратической ошибки предсказания линейный многошаговый экстраполятор («предиктор») определяется на основе решения разностного уравнения (7.4.2), определяющего статистическую динамику финансового рынка. Переходя в указанном уравнении к математическим ожиданиям и рассматривая вместо мгновенного значения оцениваемого процесса его оптимальные оценки а, также используя формулу для решения разностного уравнения с правой частью, получим:
Покажем далее, как можно получить соответствующие оценки, не входя в противоречие с принципом каузальности (причинности) событий. Для этого рассмотрим одношаговый «предиктор», реализуемый фильтром Калмана:
где матрица усиления фильтра K'(i) определяется из уравнения (7.4.15), а ковариационная матрица для ошибки экстраполяции может быть получена из решения разностного уравнения вида:
Уравнение (7.4.20) является дискретным аналогом известного матричного нелинейного дифференциального уравнения типа Риккати в задаче фильтрации с непрерывным временем. Последовательно применяя одношаговый «предиктор» (7.4.19), легко доопределить недостающие оценки m(τ), τ = i + 1, K – 1 в формуле (7.4.18) многошаговой экстраполяции («оптимального» предсказания).
Таким образом, выше были полностью определены алгоритмы оптимального оценивания и прогнозирования вектора состояния (эффективности) финансового рынка.
В результате применения указанных алгоритмов может быть синтезирована последовательность векторов предсказаний состояния рынка:
Эта последовательность векторов является исходной информацией для синтеза алгоритма динамической оптимизации принимаемых инвестиционных решений.
|
