2.6. Вид границы

Если мы найдем решение задачи минимизации риска в большом диапазоне ожидаемых доходностей, то увидим, что граница имеет форму “пули”. Интуитивное понимание, почему граница имеет именно такую форму, можно получить, рассмотрев случай двух типов акций. Предположим, имеются два вида акций с ожидаемой доходностью E(r₁) и E(r₂), стандартными отклонениями σ₁ и σ₂ и ковариацией σ₁₂. Если мы рассмотрим комбинацию из α акций первого типа и (1 – α) второго, ожидаемая доходность портфеля αE(r₁) + (1 – α)E(r₂) будет находиться где-то между E(r₁) и E(r₂). Стандартное отклонение портфеля равно

Для того чтобы граница имела выпуклую форму, требуется, чтобы стандартное отклонение портфеля было меньше линейной комбинации ασ₁ + (1 – α)σ₂ при 0 < α < 1 и больше – при α < 0 или α > 1. Другими словами, мы должны проанализировать неравенство

Возводя обе части в квадрат и упрощая, получим

Величина ρ₁₂ = σ₁₂/σ₁σ₂ называется коэффициентом корреляции (correlation coefficient). В теории вероятностей доказываются неравенства – 1 ≤ ρ₁₂ ≤ 1 для любых случайных величин. При -1 < ρ₁₂ < 1 мы получаем требуемое неравенство:

если 0 < α < 1, или

если α < 0 или α > 1. Если же ρ₁₂ = 1 или ρ₁₂ = –1, то граница может быть кусочно-линейной. Мы, однако, не будем всерьез рассматривать этот вырожденный случай.

Содержание

Далее