3.6. Несколько периодов: европейский колл-опцион

Когда цена акции может принимать лишь одно из двух возможных значений, поток платежей от колл-опциона можно воспроизвести при помощи портфеля, состоящего из акций и безрисковых активов. Когда число возможных значений цены больше двух, непосредственное воспроизведение, вообще говоря, невозможно. Однако можно рассмотреть процесс изменения цен, состоящий из нескольких периодов, где в каждом периоде используется уже рассмотренная биномиальная модель. Полагая число периодов достаточно большим, а длину периода достаточно малой, можно получить много возможных состояний (возможных значений цены) на финише. В пределе этого процесса получается модель Блэка–Шоулза для цен на опционы.

Общая формулировка двухпериодной задачи такова.

S = текущая цена акции,

С = цена на колл-опцион, подлежащая определению.

Предположим, что в конце первого периода цена может принимать два значения:

S_u – высокая цепа акции в конце периода 1 (состояние H),

S_d – низкая цена акции в конце периода 1 (состояние L).

Предположим, что в конце второго периода для каждого из состояний (H и L) снова возможны два значения цены:

Suu = высокая цепа акции в конце периода 2 при высокой цене акции в конце периода 1;

Sud – низкая цепа акции в конце периода 2 при высокой цене акции в конце периода 1;

Sdu = высокая цена акции в конце периода 2 при низкой цене акции в конце периода 1;

Sud = низкая цена акции в конце периода 2 при низкой цене акции в конце периода 1.

Возможные траектории цен представлены на следующей диаграмме:

Обозначим X = цена исполнения,

r = 1 + безрисковый процент на активы за один период (одинаков для обоих периодов).

Терминальные значения для колл-опционов таковы:

где предполагается, что Suu > X (в противном случае опцион никогда не исполняется и цена его равна нулю).

В начале периода 2 мы знаем, как найти цену опциона на этот период, так как эту задачу мы уже решали. Пусть С_u – цена колл-опциона, а k_u – коэффициент полного хеджирования при условии, что в периоде 1 цена выросла (реализовалось состояние H):

Аналогично выражается C_d.

Но тогда через С_u и C_d можно выразить значение С – цену колл-опциона в начале периода 1:

Разница между этими формулами и аналогичными формулами для задачи на один период состоит в том, что С_u и C_d получены на основе информации о периоде 2 вместо прямого вычисления по формуле максимума.

Двухпериодную модель можно расширить на любое число периодов. При этом коэффициенты и и d, а также ставка процента r могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом шаге цена акции может принимать лишь два значения, при большом числе периодов можно аппроксимировать достаточно плавно изменяющуюся цену. Например, если опционы исполняются в конце торгового дня, “периодом” можно считать один час (соответственно подобрав величины u, d и r). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции, в соответствии с многопериодной биномиальной моделью, может иметь 2⁷ = 128 значений.

Далее мы совершим предельный переход, когда число периодов бесконечно увеличивается, а длительность одного периода становится бесконечно малой. А сейчас рассмотрим прием, называемый нейтральной к риску оценкой (risk-neutral probability) и упрощающий этот предельный переход, приводящий к формуле Блэка–Шоулза.

Содержание

Далее